Question

如图，已知直线y=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2-2ax+c过点C且与直线y=2x+2交于点A（5，12

如图，已知直线y=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2-2ax+c过点C且与直线y=2x+2交于点A（5，12）．（1）求该抛物线的解析式；（2）D为x轴上方抛物线上一点，若△DCO与△DBO的面积相等，求D点的坐标；（3）在线段AB上是否存在点P，过P作x轴的垂线交抛物线于E点，使得以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由直线y=2x+2知：点C（-1，0）、B（0，2）；
抛物线y=ax²-2ax+c过点C（-1，0）、A（5，12），有：

a+2a+c＝0 25a?10a+c＝12

，解得

a＝1 c＝?3

∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）由（1）知：OB=2、OC=1；
由题意知：S_△DBO=S_△DCO，则：

1

2

×BO×|x_D|=

1

2

×CO×|y_D|，即：|y_D|=2|x_D|
∴可以设点D的坐标为：（x，2x）或（x，-2x）（x＜-1或x＞3），代入抛物线的解析式中，有：
当点D坐标为（x，2x）时，有：x²-2x-3=2x；解得：x₁=2-

7

（舍），x₂=2+

7

；
当点D坐标为（x，-2x）时，有：x²-2x-3=-2x；解得：x₃=

3

（舍），x₄=-

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