Question

已知函数f（x）=ax3+cx+d （a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．（1）求函数f（x）的解析

已知函数f（x）=ax3+cx+d （a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数f（x）的单调区间和极大值．（3）证明：对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立．

Answer 1

（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d，
∴d=-d，即d=0 （或由f（0）=0得d=0），
∴f（x）=ax³+cx，
则f′（x）=3ax²+c，又当x=1时，f（x）取得极值-2，
∴

f(1)＝?2 f′(1)＝0

，即

a+c＝?2 3a+c＝0

，解得

a＝1 c＝?3

．
∴f（x）=x³-3x；
（2）解：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=±1．
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
∴函数f（x）的递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；
递减区间为（-1，1）．
因此，f（x）在x=-1处取得极大值，且极大值为f（-1）=2；
（3）证明：由（2）知，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
且f（x）在区间[-1，1]上的最大值为M=f（-1）=2．最小值为m=f（1）=-2．
∴对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=4成立． 
即对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．