已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a，x∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）对应曲线上平行于x轴的所有切线的方程
已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a，x∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）对应曲线上平行于x轴的所有切线的方程；（Ⅱ）求函数g(x)＝f(x)x?lnx(x＞12...
已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a，x∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）对应曲线上平行于x轴的所有切线的方程；（Ⅱ）求函数g(x)＝f(x)x?lnx(x＞12)的单调递增区间．
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（I）若a=1，则f（x）=x3+x2-x，∴f′（x）=3x2+2x-1．
令f′（x）=0?3x2+2x-1=0?x=-1或x=
．
把x=-1代入f（x）=x3+x2-x得：f（-1）=1．所以切线方程为：y-1=0×（x+1）?y-1=0；
把x=
代入f（x）=x3+x2-x得：f（
）=?
．所以切线方程为：y-
=0×（x-
）?y-
=0．
（II）：由题得：x＞
∵g(x)＝
?lnx=ax2+x-a-lnx；
∴g′（x）=2ax+1-
=
；
所以：g′（x）≥0?
≥0?2ax2+x-1≥0．
①当a=0时，2ax2+x-1=x-1≥0?x≥1，此时，函数g（x）的单调增区间是[1，+∞），
②当a≤-
，2ax2+x-1≤0恒成立，此时，函数g（x）无单调增区间，
③当a＞-
且a＜0时，2ax2+x-1≥0?
≤x≤
＜
，函数g（x）无单调区间
④当1≥a＞0时，2ax2+x-1≥0?
令f′（x）=0?3x2+2x-1=0?x=-1或x=
| 1 |
| 3 |
把x=-1代入f（x）=x3+x2-x得：f（-1）=1．所以切线方程为：y-1=0×（x+1）?y-1=0；
把x=
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| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 27 |
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| 3 |
| 5 |
| 27 |
（II）：由题得：x＞
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| 2 |
∵g(x)＝
| f(x) |
| x |
∴g′（x）=2ax+1-
| 1 |
| x |
| 2ax2+x?1 |
| x |
所以：g′（x）≥0?
| 2ax2+x?1 |
| x |
①当a=0时，2ax2+x-1=x-1≥0?x≥1，此时，函数g（x）的单调增区间是[1，+∞），
②当a≤-
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| 8 |
③当a＞-
| 1 |
| 8 |
?1?
| ||
| 4a |
?1+
| ||
| 4a |
| 1 |
| 2 |
④当1≥a＞0时，2ax2+x-1≥0?
?1+
|
