Question

已知函数f（x）=x3-ax2+3x．（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求f（x）在区间[2，a]上的最大值和最小值；

已知函数f（x）=x3-ax2+3x．（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求f（x）在区间[2，a]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³-ax²+3x．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由题意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3．
令 f′（x）=0，解得 x=3∈[2，5]，x=

1

3

 （舍去），
易知f（x）在区间[2，3]上单调递减，在[3，5]上单调递增，而f（2）=-6，f（5）=15，f（3）=-9
故f（x）在区间[2，a]上的最大值为15，最小值为-9；
（2）f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=3x²-2ax+3≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≤

3

2

（x+

1

x

）任意x∈[1，+∞）恒成立，
∵

3

2

（x+

1

x

）≥

3

2

?2=3，当且仅当x=1时等号成立
∴a≤3，
即实数a的取值范围（-∞，3]．