已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0).(1)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实

已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0).(1)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围;(2)若函数f(x)在定义域... 已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0).(1)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围;(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围. 展开
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轻尘美少年36
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(1)∵f(1)=2,∴a=1,f(x)=x2+x-xlnx.由f(x)≥bx2+2x?1?
1
x
?
lnx
x
≥b.
令g(x)=1?
1
x
?
lnx
x
,可得g(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=0,即b≤0.
(2)f′(x)=2ax-lnx(x>0).令f′(x)>0,得2a≥
lnx
x

   令h(x)=
lnx
x
,当x=e时,h(x)max=
1
e

∴当a≥
1
2e
时,f′(x)>0(x>0)恒成立,此时.函数f(x)在定义域上单调递增.
 若0<a<
1
2e
,g(x)=2ax-lnx,(x>0),g′(x)=2a-
1
x

由g′(x)=0,得出x=
1
2a
x∈(0,
1
2a
)
,g′(x)<0,x∈(
1
2a
,+∞)
,g′(x)>0,∴x=
1
2a
时,g(x)取得极小值也是最小值.而当0<a<
1
2e
时,g(
1
2a
)=1-ln
1
2a
<0,f′(x)=0必有根.f(x)必有极值,在定义域上不单调.
综上所述,a≥
1
2e
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