Question

如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-2

如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b2+8a＞4ac．其中正确的个数有______．提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝?b2a，顶点坐标是(?b2a，4ac?b24a)．

Answer 1

由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=-

b

2a

＞-1，且c＞0；
①由图可得：当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①正确；
②已知x=-

b

2a

＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（i），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（ii），
由①知：4a-2b+c＜0（iii）；联立（i）（ii），得：a+c＜1；联立（i）（iii）得：2a-c＜-4；
故3a＜-3，即a＜-1；所以③正确；
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：

4ac?b2

4a

＞2，
由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故④正确；
因此正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．