已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a≠c且f(1)=0,证明:方程f(x)=0有两个不同实数根;(2)证明

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a≠c且f(1)=0,证明:方程f(x)=0有两个不同实数根;(2)证明:若x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x... 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a≠c且f(1)=0,证明:方程f(x)=0有两个不同实数根;(2)证明:若x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),则方程f(x)?f(x 1)+f(x 2)2=0必有一实根在区间 (x1,x2)内. 展开
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维它命2361
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(1)∵f(1)=0
∴a+b+c=0,即b=-a-c; (2分)
又对f(x)=0有△=b2-4ac=(-a-c)2-4ac=(a-c)2
∵a≠c,∴△=(a-c)2>0.故方程f(x)=0有两个不同实数根;(6分)
(2)设g(x)=f(x)?
f(x 1)+f(x 2)
2
(8分)
考虑:
g(x1)g(x2)=[f(x1)?
f(x 1)+f(x 2)
2
][f(x2)?
f(x 1)+f(x 2)
2
]
[f(x 1)?f(x 2)][f(x 2)?f(x 1)]
4
<0

∴对二次函数y=g(x)的图象在(x1,x2)内必至少穿过横轴一次,
∴方程f(x)=
f(x 1)+f(x 2)
2
必有一实根在区间 (x1,x2)内.(12分)
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