Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a≠c且f（1）=0，证明：方程f（x）=0有两个不同实数根；（2）证明

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a≠c且f（1）=0，证明：方程f（x）=0有两个不同实数根；（2）证明：若x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），则方程f(x)?f(x 1)+f(x 2)2＝0必有一实根在区间 （x1，x2）内．

Answer 1

（1）∵f（1）=0
∴a+b+c=0，即b=-a-c； （2分）
又对f（x）=0有△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²
∵a≠c，∴△=（a-c）²＞0．故方程f（x）=0有两个不同实数根；（6分）
（2）设g(x)＝f(x)?

f(x 1)+f(x 2)

2

（8分）
考虑：

g(x1)g(x2)＝[f(x1)? f(x 1)+f(x 2) 2 ][f(x2)? f(x 1)+f(x 2) 2 ] ＝ [f(x 1)?f(x 2)][f(x 2)?f(x 1)] 4 ＜0

∴对二次函数y=g（x）的图象在（x₁，x₂）内必至少穿过横轴一次，
∴方程f(x)＝

f(x 1)+f(x 2)

2

必有一实根在区间 （x₁，x₂）内．（12分）