Question

已知函数f(x)＝ax?1ax+1(a＞1)．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数

已知函数f(x)＝ax?1ax+1(a＞1)．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

（1）解：函数的定义域为R
∵f(?x)＝

a?x?1

a?x+1

=

1?ax

1+ax

=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；
（2）证明：f(x)＝

ax?1

ax+1

＝1?

2

ax+1

在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则
f(x1)?f(x2)＝1?

2

ax1+1

?1+

2

ax2+1

=

2(ax1?ax2)

(ax2+1)(ax2+1)

∵x₁＜x₂，a＞1，∴ax1＜ax2
∴ax1?ax2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．