Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明：（1）∠FAH

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明：（1）∠FAH=∠CAO；（2）四边形AHDO是菱形．

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Answer 1

解答：证明：（1）连接AD，
∵点D是

BC

的中点，
∴∠BAD=∠CAD，OD⊥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥OD，
∴∠DAH=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠BAD-∠DAH=∠CAD-∠DAO，
∴∠FAH=∠CAO；

（2）过点O作OM⊥AC于M，
∴AC=2AM，
∵CF⊥AB，∠BAC=60°，
∴AC=2AF，
∴AF=AM，
在△AFH与△AMO中，
∵∠FAH=∠CAO，AF=AM，∠AFH=∠AMO，
∴△AFH≌△AMO，
∴AH=OA，
∵OA=OD，
∴AH平行且等于OD．
∴四边形AHDO是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵OA=OD，
∴平行四边形AHDO是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）