Question

设函数Q（x，y）在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q（x，y）dy与路径无关，并且对任意t

设函数Q（x，y）在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q（x，y）dy与路径无关，并且对任意t恒有∫(t，1)(0，0)2xydx+Q(x，y)dy=∫(1，t)(0，0)2xydx+Q(x，y)dy，求Q（x，y）．

Answer 1

由平面上曲线积分与路径无关的条件可得

?Q

?x

＝

?(2xy)

?y

＝2x，从而可得
Q（x，y）=x²+C（y），
其中，C（y）待定．
因为积分与路径无关，取 （0，0）→（t，0）→（t，1），
则
 

∫	(t，1) (0，0)

2xydx+Q(x，y)dy
=

∫

1 0

[t2+C(y)]dy
=t²+

∫

1 0

C(y)dy．
取 （0，0）→（0，t）→（1，t），则
 

∫	(1，t) (0，0)

2xydx+Q(x，y)dy
=

∫

t 0

C(y)dy+

∫

1 0

2txdx
=

∫

t 0

C(y)dy+t．
由题设

∫	(t，1) (0，0)

2xydx+Q(x，y)dy=

∫	(1，t) (0，0)

2xydx+Q(x，y)dy 可知，
t²+

∫

1 0

C(y)dy=

∫

t 0

C(y)dy+t．
两边对t求导可得，
2t=C（t）+1，
所以 C（t）=2t-1，
从而 C（y）=2y-1．
故有，
Q（x，y）=x²+2y-1．