Question

已知函数fx=x+1/e^x-1.求函数fx的极小值,过点b(0,t)能否存在曲线y=fx的切线

Answer 1

　　f(x)=x+1/e^x-1
　　f'(x)=1-1/e^x=0
　　x=0
　　在x=0的邻域内，导数值左负右正，函数左减右增
　　∴当x=0时，函数取得极小值0
　　∵f''(x)=1/e^x>0
　　∴f'(x)递增
　　∵lim[x-->+∞]1-1/e^x=1
　　∴ f(x)切线的斜率<1
　　∵ f(2)=1+1/e^2
　　∴t<1+1/e^2
　　∵lim[x-->+∞][1+1/(xe^x)-1/x]=1
　　 lim[x-->+∞][x+1/e^x-1-x]=-1
　　f(x)的渐近线：y=x-1
　　可见当t>1+1/e^2时，不存在点过b(0,t)的曲线y=fx的切线；当t=1+1/e^2时，点b(0,t)即为曲线y=fx的切线的切点；当0<t<1时，切点的横坐标>0; 当t=0时，切点为（0，0）；当t<0时，切点的横坐标<0.