Question

已知函数f(x)=2的x次方+1/2的x次方-1。(1)当x∈(0，+∞)时，判断函数f(x)的单

已知函数f(x)=2的x次方+1/2的x次方-1。(1)当x∈(0，+∞)时，判断函数f(x)的单调性，并证之;(2)设F(x)=x f(x)，讨论函数F(x)的奇偶性，并证明:F(x)>0

Answer 1

(x)=2^x+(1/2)^x-1
(1)
设0<x1<x2,
f(x1)-f(x2)=2^(x1)+(1/2)^(x1)-1-[2^(x2)+(1/2)^(x2)-1]
=2^(x1)-2^(x2)+(1/2)^(x1)-(1/2)^(x2)
=2^(x1)-2^(x2)+1/2^(x1)-1/2^(x2)
=[2^(x1)-2^(x2)]+[2^(x2)-2^(x1)]/2^(x1)2^(x2)
=[2^(x1)-2^(x2)][1+1/2^(x1)2^(x2)] (*)
因为0<x1<x2, 2^x是递增的，所以2^(x1)<2^(x2)
即2^(x1)-2^(x2)<0
所以（*）式是<0,即 f(x1)-f(x2)<0, 所以f(x1)<f(x2)
故 f(x)在（0，+∞）上递增
（2）
F(x)=xf(x)=x[2^(x)+(1/2)^(x)-1]，定义域为R
F(-x)=(-x)[2^(-x)+(1/2)^(-x)-1]=(-x)[(1/2)^x+2(x)-1]=-F(x), 所以是奇函数

因为F(-2)=-2[(2)^(-2)+(1/2)^(-2)-1]=-2[1/4+4-1]=-13/2<0
所以F（x）>0是不成立的！

追问

是证明F(x)>0成立，不是证不成立