Question

这个51位数555…55□999…99，能被13整除□中的数字是几?（25个5和25个9）

Answer 1

所求的数S = 5……25个……5 X 9……25个……9
要能被13整除。

易知111111 能被13整除，则555555、999999能被13整除。
将此数拆成6位一组即：4个555555、5X9、4个999999

则S
= 5555550……0 + 5555550……0 + 5555550……0 + 5555550……0
+ 5X9 0……0 + 9999990……0 + 9999990……0 + 9999990……0 + 999999
其余项都有因数13，显然，5X9必须被13整除

又易知507（ = 520-13 = 13*40 - 13 ）能被13整除
则数字5X9-507 = X2 必须被13整除。
推得X = 5

中间方格里数字是5。

Answer 2

13的整除性是三位一截，奇数截之和减偶数截之和的差能被13整除。截完后发现999和555都抵销了。保证5□9能被13整除就行了。□填5