Question

如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC= 2 3 AB，又P0⊥平面ABC，DA ∥ PO，DA=

如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC= 2 3 AB，又P0⊥平面ABC，DA ∥ PO，DA=AO= 1 2 PO．（I）求证：PB ∥ 平面COD；（II）求证：PD⊥平面COD．

Answer 1

证明：∵PO⊥平面ABCD，AD ∥ PO， ∴DA⊥AB，PO⊥AB 又DA=AO= 2 3 AB．∴∠AOD= π 4 又AO= 1 2 PO，∴OB=OP∴∠OBP= π 4 ∴OD ∥ PB 又PB?平面OCD，OD?平面COD．∴PB ∥ 平面COD． （II）依题意可设OA=a，则PO=OB=OC=2a，DA=a， 由DA ∥ PO，且PO⊥平面ABC， 知DA⊥平面ABC． 从而PD=DO= 2 a， 在△PDO中∵PD=DO= 2 a，PO=2a∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO 又∵OC=OB=2a，∠ABC=45°，∴CO⊥AB 又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB、 故CO⊥PD． ∵CO与DO相交于点O． ∴PD⊥平面COD．