Question

已知{a n }是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n ，S 4 =2S 2 +4，b n = 1+ a n a n

已知{a n }是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n ，S 4 =2S 2 +4，b n = 1+ a n a n ；（1）求公差d的值；（2）若a 1 =- 5 2 ，求数列{b n }中的最大项和最小项的值．

Answer 1

（1）∵S 4 =2S 2 +4，∴4a 1 + 3×4 2 d=2（2a 1 +d）+4，解得d=1．…（5分） （2）∵a 1 =- 5 2 ，∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1 +（n-1）d=n- 7 2 ，…（7分） ∴b n =1+ 1 a n =1+ 1 n- 7 2 ． ∵函数f（x）=1+ 1 x- 7 2 在（0， 7 2 ）和（ 7 2 ，+∞）上分别是单调减函数， ∴b 3 ＜b 2 ＜b 1 ＜1，当n≥4时，1＜b n ≤b 4 ， ∴数列{b n }中的最大项是b 4 =3，最小项是b 3 =-1．…（14分）