Question

已知函数f（x）=2ax2+4x-3-a，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值；（Ⅱ）如果函数f

已知函数f（x）=2ax2+4x-3-a，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值；（Ⅱ）如果函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=2x²+4x-4=2（x²+2x）-4=2（x+1）²-6．
因为x∈[-1，1]，所以x=1时，f（x）的最大值f（1）=2．…（3分）
（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=4x-3，显然在区间[-1，1]上有零点，所以a=0时，命题成立．…（4分）
（2）当a≠0时，令△=16+8a（3+a）=8（a+1）（a+2）=0，解得a=-1，a=-2．   …（5分）
①当a=-1时，f（x）=-2x²+4x-2=-2（x-1）²，f（x）的零点为 x=1，满足条件．
②当 a=-2时，f(x)＝?4x2+4x?1＝?4(x?

1

2

)2，求得函数的零点 x=

1

2

，满足条件．
所以当 a=0，-1，-2时，y=f（x）均恰有一个零点在区间[-1，1]上．…（7分）
③当f（-1）?f（1）=（a-7）（a+1）≤0，即-1≤a≤7时，
y=f（x）在区间[-1，1]上必有零点．…（8分）
④若y=f（x）在区间[-1，1]上有两个零点，则

a＞0 △＝8(a+1)(a+2)＞0 ?1＜? 1 a ＜1 f(?1)≥0 f(1)≥0

，
或

a＜0 △＝8(a+1)(a+2)＞0 ?1＜? 1 a ＜1 f(?1)≤0 f(1)≤0.

．…（12分）
解得a≥7或a＜-2．
综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上存在极值点，实数a的取值范围是{a|a≥-1，或a≤-2}，
故答案为 {a|a≥-1，或a≤-2}．…（13分）