Question

已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x2+ax-2＞0恒成立；命题q：函数f(x)＝log13(x2?2ax+3a)是区间[1，+∞）

已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x2+ax-2＞0恒成立；命题q：函数f(x)＝log13(x2?2ax+3a)是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵x∈[1，2]时，不等式x²+ax-2＞0恒成立
∴a＞

2?x2

x

＝

2

x

?x在x∈[1，2]上恒成立，
令g(x)＝

2

x

?x，则g（x）在[1，2]上是减函数，
∴g（x）_max=g（1）=1，∴a＞1．即若命题p真，则a＞1；
又∵函数f(x)＝log

1

3

(x2?2ax+3a)是区间[1，+∞）上的减函数，
∴

u(x)＝x2?2ax+3a是[1，+∞)上的增函数 u(x)＝x2?2ax+3a＞0在[1，+∞)上恒成立

∴

a≤1 u(1)＞0

∴-1＜a≤1．即若命题q真，则-1＜a≤1．
若命题“p∨q”是真命题，则有p真q假或p假q真或p，q均为真命题，
若p真q假，则有a＞1，若p假q真，则有-1＜a≤1，若p，q均为真命题，不存在a；
综上可得实数a的取值范围是a＞-1．

Answer 2

∵x∈[1，2]时，不等式x²+ax-2＞0恒成立
∴a＞

2?x2

x

＝

2

x

?x在x∈[1，2]上恒成立，
令g(x)＝

2

x

?x，则g（x）在[1，2]上是减函数，
∴g（x）_max=g（1）=1，∴a＞1．即若命题p真，则a＞1；
又∵函数f(x)＝log

1

3

(x2?2ax+3a)是区间[1，+∞）上的减函数，
∴

u(x)＝x2?2ax+3a是[1，+∞)上的增函数 u(x)＝x2?2ax+3a＞0在[1，+∞)上恒成立

∴

a≤1 u(1)＞0

∴-1＜a≤1．即若命题q真，则-1＜a≤1．
若命题“p∨q”是真命题，则有p真q假或p假q真或p，q均为真命题，
若p真q假，则有a＞1，若p假q真，则有-1＜a≤1，若p，q均为真命题，不存在a；
综上可得实数a的取值范围是a＞-1．