如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角∠NDM,角的两边

如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角∠NDM,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.试探究BM、... 如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角∠NDM,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.试探究BM、MN、CN之间的数量关系,并加以证明. 展开
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木兰vxU
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解:探究结论:BM+CN=NM.
证明:延长AC至E,使CE=BM,连接DE,
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,△ABC是等边三角形,
∴∠BCD=30°,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
即∠ABD=∠DCE=90°,
∴在Rt△DCE和Rt△DBM中,
BD=CD
BM=EC

∴Rt△DCE≌Rt△DBM(HL),
∴∠BDM=∠CDE,
又∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°,
∴∠CDE+∠NDC=60°,即∠NDE=60°,
∴∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE(上面已经全等)
在△DMN和△DEN中
DM=DE
∠MDN=∠NDE
DN=DN

∴△DMN≌△DEN(SAS),
∴BM+CN=NM.
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