Question

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx经过点A(4,0)，直线x=2与x轴交于点C，点E是直线x=2上任意一点，

过线段CE的中点G做DF⊥CE交抛物线于D、F两点（点D在点F右侧）
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式
（2）当点E落在抛物线顶点上时，求DF的长
（3）当四边形CDEF为正方形时，求点E的坐标
要求（1）所有的问题都要解答，求出相应的答案
（2）每个问题解答时要详细的过程
（3）最后一问要必须有图来解释
完成上述三点要求者，加奖励！

Answer 1

⑴∵A(4,0)在抛物线y＝﹣x²＋bx上

∴﹣16＋4b＝0解得b＝4

∴y＝﹣x²＋4x

⑵∵y＝﹣x²＋4x＝﹣﹙x－2﹚²＋4其顶点为﹙2,4﹚

    G是以C﹙2,0﹚、E﹙2,4﹚为端点的线段的中点

∴G﹙2,2﹚

∴过点G的直线DF为y＝2

∵直线DF:y＝2与抛物线y＝﹣x²＋4x相交于F、D

∴﹣x²＋4x＝2即x²－4x＋2＝0

FD＝|x1－x2|＝√﹙x1－x2﹚²＝√[﹙x1＋x2﹚²－4x1·x2]＝√﹙4²－4×2﹚＝√8＝2√2

⑶设E﹙2，e﹚﹙e＞0﹚,则CE的中点为G﹙2，e/2﹚

∵四边形CDEF为正方形

∴对角线CE、DF互相垂直平分且等长

∴DF＝CE＝e，且过点G的直线FD∥x轴

∴﹣x²＋4x＝e/2即2x²－8x＋e＝0的两根满足|x1－x2|＝FD＝e 

∴e²＝﹙x1－x2﹚²＝﹙x1＋x2﹚²－4x1·x2＝4²－2e

e²＋2e－16＝0解得e＝﹣1＋√17或e＝﹣1－√17﹙＜0舍﹚