Question

（2004?辽宁）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为

（2004?辽宁）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点．（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：连接BD．∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB为等边三角形．
∵E是AB中点，∴AB⊥DE．（2分）∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED． （4分）
∵AB?面PAB，∴面PED⊥面PAB．  （6分）

（2）解：∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE．
连接EF，∵EF?PED，∴AB⊥EF．∴∠PEF为二面角P-AB-F的平面角．（9分）
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=

3

．
在△PEF中，PE=

7

，EF＝2，PF＝1，
∴cos∠PEF＝

( 7 )2+22?1

2×2 7

＝

5 7

14

，
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为

5 7

14

.（12分）