Question

若关于x的方程x3-6x2+9x+a=0有三个实根，则实数a的取值范围是______

若关于x的方程x3-6x2+9x+a=0有三个实根，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

设f（x）=x³-6x²+9x+a，
则f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得1＜x＜3，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极大值f（1）=4+a，
当x=3时，函数取得极小值f（3）=a，
要使关于x的方程x³-6x²+9x+a=0有三个实根，
满足

f(1)＝4+a＞0 f(3)＝a＜0

，解得-4＜a＜0时，
故答案为：（-4，0）

Answer 2

引用唯爱一萌324065的回答：
设f（x）=x3-6x2+9x+a，则f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3），由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得1＜x＜3，此时函数单调递减，即当x=1时，函数取得极大值f（1）=4+a，当x=3时，函数取得极小值f（3）=a，要使关于x的方程x3-6x2+9x+a=0有三个实根，满足f(1)＝4+a＞0f(3)＝a＜0，解得-4＜a＜0时，故答案为：（-4，0）

根据题意知，有三个实数根，而没有强调是三个不等实数根。
说明了可以存在重根，则应该取闭区间。
正确答案:[-4,0]