Question

已知函数f(x)＝12x2?2(a+2)lnx+ax，a∈R（1）当a=-1时，求函数f（x）的最小值；（2）是否存在实数a，对任

已知函数f(x)＝12x2?2(a+2)lnx+ax，a∈R（1）当a=-1时，求函数f（x）的最小值；（2）是否存在实数a，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有f(x2)?f(x1)x2?x1＞a恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当a=-1时，f（x）=

1

2

x2-2lnx-x，则f′（x）=x-

2

x

-1=

(x?2)(x+1)

x

，
∴函数在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴x=2时，函数f（x）的最小值为-2ln2；
（2）∵

f(x2)?f(x1)

x2?x1

＞a恒成立，
∴f′（x）=x-

2(a+2)

x

+a＞a恒成立，
∴2（a+2）＜x²，
∴a+2≤0，
∴a≤-2．