Question

若给一个正方体的八个顶点染色，要求相邻的两个顶点（即同一条棱的两个端点）颜色不能相同，则至少需要__

若给一个正方体的八个顶点染色，要求相邻的两个顶点（即同一条棱的两个端点）颜色不能相同，则至少需要______种颜色；现有5种不同的颜色，要给正方体的六个面涂色，要求相邻的两个面不能用同一种颜色，则共有______种不同的涂色方法．

Answer 1

解答：解：（1）如图，顶点A的先选一种，则B，D，A₁，可以相同选另一种颜色，若C，D₁，B₁与A 的颜色相同，C₁和B的颜色相同，故至少需要2种颜色．
（2）解：由于涂色过程中，要保证满足用五种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，
三对同色：

C

3 5

=10种不同的涂法；
两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有

C

2 5

=10种不同的涂法．
故共有10+10=20种不同的涂法
故答案为：2，20．

Answer 2

引用穆晴明°的回答：
解答：解：（1）如图，顶点A的先选一种，则B，D，A1，可以相同选另一种颜色，若C，D1，B1与A 的颜色相同，C1和B的颜色相同，故至少需要2种颜色．（2）解：由于涂色过程中，要保证满足用五种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，三对同色：C35=10种不同的涂法；两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有C25=10种不同的涂法．故共有10+10=20种不同的涂法故答案为：2，20．

第一问答案是 2 没问题。
第二问答案应该是 70 ：
同一颜色最多涂两面，而且是对面。选色方案分为三种：3、4、5 ，每个方案需要选出涂两个面的颜色是哪些，涂一个面的颜色是哪些。
选 3 个颜色的选色方案有 C(5, 3) x C(5 - 3, 0) = 10 种，涂色方案有 1 种，共计 10 种；
选 4 个颜色的选色方案有 C(5, 2) x C(5 - 2, 1) = 30 种，涂色方案有 1 种，共计 30 种；
选 5 个颜色的选色方案有 C(5, 1) x C(5 - 1, 4) = 5 种，涂色方案有 A(3, 3) = 6 种， 共计 30 种。
综上共有 10 + 30 + 30 = 70 种。