Question

函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）（　　）A．在[-4，4]上为增函

函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）（　　）A．在[-4，4]上为增函数B．在[4，+∞）上为增函数，在（-∞，-4]上为减函数C．在[-4，+∞）上为减函数D．在（-∞，-4]上为增函数，在[4，+∞）上也为增函数

Answer 1

∵f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的图象关于原点中心对称，
∴f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b是奇函数，
即f（-x）=-f（x），
∴-ax³+（a-1）x²-48（a-2）x+b=-（ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b），
即a-1=0且b=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-48x．
函数的导数f'（x）=3x²-48=3（x²-16），
由f'（x）＞0，解得x＞4或x＜-4．此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，解得-4＜x＜4，此时函数单调递减．
故选：D．