Question

被积函数含x的变上限积分求导 如图

被积函数含x的变上限积分求导
如图

Answer 1

将原式展开，由于是对t的积分,（x-t）中的x是常数，可以提出来

∫(0,x) (x-t)f(t)dt = x∫(0,x) f(t)dt - ∫(0,x) t f(t)dt

对x求导得 ∫(0,x) f(t)dt + xf(x) - xf(x) = ∫(0,x) f(t)dt

∵积分时，被积函数里含有的积分上限里的变量被看成了常数。

而求导时，是对积分上限里的变量求导

∴被积函数里不能含有积分上限里的变量

函数的积分

表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。

Answer 2

将原式展开,由于是对t的积分,（x-t）中的x是常数,可以提出来
∫(0,x) (x-t)f(t)dt = x∫(0,x) f(t)dt - ∫(0,x) t f(t)dt
对x求导得 ∫(0,x) f(t)dt + xf(x) - xf(x) = ∫(0,x) f(t)dt

Answer 3

∵积分时，被积函数里含有的积分上限里的变量被看成了常数。
而求导时，是对积分上限里的变量求导
∴被积函数里不能含有积分上限里的变量

Answer 4

不好写，给提示：先展开 (x-t)^k，则积分可写成 k+1 项之和，每个积分的 x^i 提到积分号外，再求导……