Question

如图，已知梯形ABCD中，AD ∥ BC，E、F分别是AB、CD的中点，点G在边BC上，且CG= 1 2 （AD+BC

如图，已知梯形ABCD中，AD ∥ BC，E、F分别是AB、CD的中点，点G在边BC上，且CG= 1 2 （AD+BC）．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）连接DG，若∠ADG=2∠ADE，求证：四边形DEGF是矩形．

Answer 1

（1）证明：如图，连接EF． ∵四边形ABCD是梯形，AD ∥ BC，E、F分别是AB、CD的中点， ∴ EF= 1 2 (AD+BC) ，EF ∥ AD ∥ BC． ∵ CG= 1 2 (AD+BC) ， ∴EF=CG． ∴四边形EGCF是平行四边形． ∴EG=FC且EG ∥ FC． ∵F是CD的中点， ∴FC=DF． ∴EG=DF且EG ∥ DF． ∴四边形DEGF是平行四边形． （2）证明：连接EF，将EF与DG的交点记为点O． ∵∠ADG=2∠ADE， ∴∠ADE=∠EDG． ∵EF ∥ AD， ∴∠ADE=∠DEO． ∴∠EDG=∠DEO． ∴EO=DO． ∵四边形DEGF是平行四边形， ∴ EO= 1 2 EF ， DO= 1 2 DG ． ∴EF=DG， ∴平行四边形DEGF是矩形．即四边形DEGF是矩形．