如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(0,3),以O为圆心,OA为半径作圆,该圆与坐标轴分别交于A、B、
如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(0,3),以O为圆心,OA为半径作圆,该圆与坐标轴分别交于A、B、C、D四点,弦AF交半径OB于点E,过点F作⊙O的切线分别交x轴...
如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(0,3),以O为圆心,OA为半径作圆,该圆与坐标轴分别交于A、B、C、D四点,弦AF交半径OB于点E,过点F作⊙O的切线分别交x轴、y轴于P、Q两点.(1)求证:PE=PF;(2)若∠FAQ=30°,求直线PQ的函数表达式;(3)在(2)的前提下,动点M从点A出发,以π3单位长度/s的速度沿ADF向终点F运动(如图2),设运动时间为t s,那么当t为何值时,△AMF的面积最大?最大面积是多少?
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(1)证明:连OF,如图1,
∵PQ切⊙O于F点,
∴OF⊥PQ,
∴∠1+∠2=90°,
又∵∠4+∠A=90°,
而∠4=∠3,
∴∠3+∠A=90°,
又∵OA=OF,
∴∠1=∠A,
∴∠2=∠3,
∴PE=PF;
(2)解:如图1,
∵∠FAQ=30°,
∴∠1=30°,
∴∠FOQ=60°,
∴∠FQO=30°,
又∵A点的坐标为(0,3),
∴OF=3,
∴OQ=2OF=6,
OP=
OQ=2
,
∴P(-2
,0),Q(0,-6),
设直线PQ的函数表达式为y=kx+b,
把P(-2
,0),Q(0,-6)代入得,-2
k+b=0,b=-6,解得k=-
,b=-6,
∴直线PQ的函数表达式为y=-
x-6;
(3)解:要使△AMF的面积最大,则AF边上的高最大,过O作ON⊥AF于N,交
于M′,如图2,
∴AN=FN,弧AM′=弧FM′,
在Rt△ANO中,∠NAO=30°,
∵PQ切⊙O于F点,
∴OF⊥PQ,
∴∠1+∠2=90°,
又∵∠4+∠A=90°,
而∠4=∠3,
∴∠3+∠A=90°,
又∵OA=OF,
∴∠1=∠A,
∴∠2=∠3,
∴PE=PF;
(2)解:如图1,
∵∠FAQ=30°,
∴∠1=30°,
∴∠FOQ=60°,
∴∠FQO=30°,
又∵A点的坐标为(0,3),
∴OF=3,
∴OQ=2OF=6,
OP=
| ||
3 |
3 |
∴P(-2
3 |
设直线PQ的函数表达式为y=kx+b,
把P(-2
3 |
3 |
3 |
∴直线PQ的函数表达式为y=-
3 |
(3)解:要使△AMF的面积最大,则AF边上的高最大,过O作ON⊥AF于N,交
ADF |
∴AN=FN,弧AM′=弧FM′,
在Rt△ANO中,∠NAO=30°,
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