Question

如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴分别交于A、B、

如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴分别交于A、B、C、D四点，弦AF交半径OB于点E，过点F作⊙O的切线分别交x轴、y轴于P、Q两点．（1）求证：PE=PF；（2）若∠FAQ=30°，求直线PQ的函数表达式；（3）在（2）的前提下，动点M从点A出发，以π3单位长度/s的速度沿ADF向终点F运动（如图2），设运动时间为t s，那么当t为何值时，△AMF的面积最大？最大面积是多少？

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

Answer 1

（1）证明：连OF，如图1，
∵PQ切⊙O于F点，
∴OF⊥PQ，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠4+∠A=90°，
而∠4=∠3，
∴∠3+∠A=90°，
又∵OA=OF，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠3，
∴PE=PF；

（2）解：如图1，
∵∠FAQ=30°，
∴∠1=30°，
∴∠FOQ=60°，
∴∠FQO=30°，
又∵A点的坐标为（0，3），
∴OF=3，
∴OQ=2OF=6，
OP=

3

3

OQ=2

3

，
∴P（-2

3

，0），Q（0，-6），
设直线PQ的函数表达式为y=kx+b，
把P（-2

3

，0），Q（0，-6）代入得，-2

3

k+b=0，b=-6，解得k=-

3

，b=-6，
∴直线PQ的函数表达式为y=-

3

x-6；

（3）解：要使△AMF的面积最大，则AF边上的高最大，过O作ON⊥AF于N，交

ADF

于M′，如图2，
∴AN=FN，弧AM′=弧FM′，
在Rt△ANO中，∠NAO=30°，