Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y=x 2 +bx+3与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠A

如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y=x 2 +bx+3与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ABO= ，顶点为P。（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线向上或向下平移|k|个单位长度后经过点C（-5，6），试求k的值及平移后抛物线的最小值；（3）设平移后的抛物线与y轴相交于D，顶点为Q，点M是平移的抛物线上的一个动点，请探究：当点M在何位置时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍求出此时点M的坐标。【友情提示：抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的对称轴是x=- ，顶点坐标是（- ， ）】

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Answer 1

解：（1）令x=0，则y=3， ∴B点坐标为（0，3）， ∴ ， ∴A点坐标为（-1，0）， ∴ ，求得b=4， ∴所求的抛物线解析式为 ； （2）设平移后抛物线的解析式为 ， ∵它经过点（-5，6）， ∴ ∴k=-2， ∴平移后抛物线的解析式为 ， 配方，得 ， ∴平移后的抛物线的最小值是-3； （3）由（2）可知， ，对称轴为x=-2， 又 ， ∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍， 设M点坐标为（m，n）， ①当M点的对称轴的左侧时，则有 ，  ②当M点在对称轴与y轴之后时，则有 ③当M点在y轴的右侧时，则有 ， ∴ 不合题意，应舍去， 综合上述，得所求的M点的坐标是（-4，1）或 。