Question

已知函数f（x）=x+ 1 x ．（1）求函数f（x）的定义域．（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；

已知函数f（x）=x+ 1 x ．（1）求函数f（x）的定义域．（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；（3）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

（1）由题意若函数f（x）=x+ 1 x 的解析式有意义 自变量须满足x≠0， 所以函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞） （2）此函数是一个奇函数，证明如下 由（1）知函数的定义域关于原点对称， 又∵f（-x）=-x- 1 x =-（x+ 1 x ）=-f（x）， ∴函数是奇函数； （3）此函数在（0，1）上是减函数，证明如下： 任取x 1 ，x 2 ∈（0，1）且x 1 ＜x 2 ， ∴x 1 -x 2 ＜0，x 1 ?x 2 ＜1，x 1 ?x 2 -1＜0 f（x 1 ）-f（x 2 ）=（ x 1 + 1 x 1 ）-（ x 2 + 1 x 2 ）=（x 1 -x 2 ）（ x 1 ? x 2 -1 x 1 ? x 2 ）＞0 即有f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0， 即f（x 1 ）＞f（x 2 ） 故函数在（0，1）上是减函数