(2007?天门)如图,直线y=2x-4与x轴交于点A,与y轴交于点B,以x轴上点M为圆心,过A、B两点作⊙M与x轴交
(2007?天门)如图,直线y=2x-4与x轴交于点A,与y轴交于点B,以x轴上点M为圆心,过A、B两点作⊙M与x轴交于另一点C.(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;(2)...
(2007?天门)如图,直线y=2x-4与x轴交于点A,与y轴交于点B,以x轴上点M为圆心,过A、B两点作⊙M与x轴交于另一点C.(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;(2)①求经过A、B、C三点的抛物线的顶点D的坐标;②求证:DB是⊙M的切线;(3)若半径为1的⊙P与x轴和直线BD都相切,请直接写出点P的坐标.
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(1)y=2x-4与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点B(0,-4).(1分)
解法(一):连接BC,
∵AC是⊙O直径,
∴∠ABC=90°OB⊥AC.
∴OB2=OA?OC.
即42=2OC.
∴OC=8.
∴直径AC=8+2=10.
∴半径R=5,圆心M坐标(-3,0).(3分)
解法(二):连接MB,易知MB2=MO2+BO2
即R2=(R-2)2+42,
∴R=5.
∴圆心M坐标为(-5,0).
解法(三):M点是AB的中垂线与x轴的交点,
AB:y=2x-4故可设中垂线y=-
x+b过AB中点(1,-2),
故y=-
x-
.
∴圆心M坐标为(-5,0)
∴半径R=3+2=5.
(解法(二)、(三)参考给分)
(2)①设过A(2,0),B(0,-4),C(-8,0)的解析式为y=a(x-2)(x+8),
∴-4=a(0-2)(0+8).
∴a=
.
∴y=
(x-2)(x+8)=
x2+
x-4(5分)
=
(x+3)2-
.(6分)
∴顶点D的坐标为(-3,?
).(7分)
(用三点式求抛物线解析式参考给分)
②解法(一):
连MD、MBl则MD2=(
)2=
&MB2+BD2=52+(
?4)2+32=
,
∴MD2=MB2+BD2
∴∠MBD=90°.
∴BD是⊙M的切线.(8分)
解法(二):直线MB过点M(-3,0)、B(0,-4),
∴y=?
x-4.
直线BD过点D(-3,?
)、B(0,-4)
∴y=
x-4.
∵k1k2=?
×
=-1,
∴直线MB与DB垂直.
∴BD是⊙M的切线.
(其它解法参考给分)
(3)P1(
,1)、P2(
,-1)、P3(
,-1)、P4(5,1)(12分)
(写一个点坐标给1分).
解法(一):连接BC,
∵AC是⊙O直径,
∴∠ABC=90°OB⊥AC.
∴OB2=OA?OC.
即42=2OC.
∴OC=8.
∴直径AC=8+2=10.
∴半径R=5,圆心M坐标(-3,0).(3分)
解法(二):连接MB,易知MB2=MO2+BO2
即R2=(R-2)2+42,
∴R=5.
∴圆心M坐标为(-5,0).
解法(三):M点是AB的中垂线与x轴的交点,
AB:y=2x-4故可设中垂线y=-
1 |
2 |
故y=-
1 |
2 |
3 |
2 |
∴圆心M坐标为(-5,0)
∴半径R=3+2=5.
(解法(二)、(三)参考给分)
(2)①设过A(2,0),B(0,-4),C(-8,0)的解析式为y=a(x-2)(x+8),
∴-4=a(0-2)(0+8).
∴a=
1 |
4 |
∴y=
1 |
4 |
1 |
4 |
3 |
2 |
=
1 |
4 |
25 |
4 |
∴顶点D的坐标为(-3,?
25 |
4 |
(用三点式求抛物线解析式参考给分)
②解法(一):
连MD、MBl则MD2=(
25 |
4 |
625 |
16 |
25 |
4 |
625 |
16 |
∴MD2=MB2+BD2
∴∠MBD=90°.
∴BD是⊙M的切线.(8分)
解法(二):直线MB过点M(-3,0)、B(0,-4),
∴y=?
4 |
3 |
直线BD过点D(-3,?
25 |
4 |
∴y=
3 |
4 |
∵k1k2=?
4 |
3 |
3 |
4 |
∴直线MB与DB垂直.
∴BD是⊙M的切线.
(其它解法参考给分)
(3)P1(
25 |
3 |
17 |
3 |
7 |
3 |
(写一个点坐标给1分).
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