Question

已知函数f（x）=2x+alnx-2．（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=13x+1垂直，求实数a

已知函数f（x）=2x+alnx-2．（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=13x+1垂直，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）∵f（x）=

2

x

+alnx-2的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=-

2

x2

+

a

x

；
又曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝

1

3

x+1垂直，∴f′（1）=-

2

12

+

a

1

；
∴a=-1，即a的值是-1；
（2）由（1）知，a=-1，∴f（x）=

2

x

-lnx-2，定义域为（0，+∞）；∴f′（x）=-

2

x2

-

1

x

=-

x+2

x2

；
∵x∈（0，+∞），∴f′（x）=-

2

x2

-

1

x

=-

x+2

x2

＜0恒成立；
所以，函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无增区间．