Question

（1）如图（1），在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°．求证：①AC=BD；②∠APB=60°．（2

（1）如图（1），在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°．求证：①AC=BD；②∠APB=60°．（2）如图（2），在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，试探究：①AC与BD的数量关系，并证明你的结论；②∠APB与α的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
由此可以得到AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠BPC=∠PAB+∠ABO+∠OBD，
=∠PAB+∠ABO+∠OAC，
=∠OAB+∠ABO，
=120°，
∴∠APB=60°；

（2）解：①AC=BD．
证明：OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
即AC=BD．
②∠APB=α．
证明：由△AOC≌△BOD可以得到∠OAC=∠OBD，
利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个外角的和”可以证明
即∠BPC=∠OBD+∠BOC+∠OCA，
=∠OAC+∠BOC+∠OCA，
=180°-α，
又∵∠APB=180°-∠BPC，
∴∠APB=α．