如图，正方形ABCD的边长是4，M是AD的中点．动点E在线段AB上运动．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的
如图，正方形ABCD的边长是4，M是AD的中点．动点E在线段AB上运动．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）求证：△G...
如图，正方形ABCD的边长是4，M是AD的中点．动点E在线段AB上运动．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）求证：△GEF是等腰三角形；（2）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在点E运动过程中△GEF是否可以成为等边三角形？请说明理由．
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4个回答
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（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=∠MDF（1分），
在△AME和△DMF中，
∵
∴△AME≌△DMF（1分）
∴EM=FM（1分）
又∵GM⊥EF，∴EG=FG（1分）
（2）解：当点E与点A重合时，如右图所示，x=0，y=
AD×MG=
×4×4=8（1分）
当点E不与点A重合时，0＜x≤4
∵EM=FM
在Rt△AME中AE=x，AM=2，ME=
∴EF=2ME=2
（1分）
过M作MN⊥BC，垂足为N
则∠MNG=90°∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AEM∽Rt△NGM（1分）
∴
＝
即
＝
∴MG=2ME=2
（1分）
∴y=
EF×MG=
×2
∴AB∥CD，∠A=∠MDF（1分），
在△AME和△DMF中，
∵
|
∴△AME≌△DMF（1分）
∴EM=FM（1分）
又∵GM⊥EF，∴EG=FG（1分）
（2）解：当点E与点A重合时，如右图所示，x=0，y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当点E不与点A重合时，0＜x≤4
∵EM=FM
在Rt△AME中AE=x，AM=2，ME=
| x2+4 |
∴EF=2ME=2
| x2+4 |
过M作MN⊥BC，垂足为N
则∠MNG=90°∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AEM∽Rt△NGM（1分）
∴
| AM |
| MN |
| ME |
| MG |
| ME |
| MG |
| 1 |
| 2 |
∴MG=2ME=2
| x2+4 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
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1题：证明可以用em=mf来证明，证明em=mf可以用△ema=△fmd，角度相等就可以证明。最后可以证明三角形emg=三角形efg；
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简单证明，省略了各个步骤的原因叙述 字迹就忍忍吧。
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