Question

求微分方程y″（x+y′2）=y′满足初始条件y（1）=y′（1）=1的特解

求微分方程y″（x+y′2）=y′满足初始条件y（1）=y′（1）=1的特解．

Answer 1

设y′=p，则原方程变为：
p′（x+p²）=p，
即：

dp

dx

(x+p2)＝p，
化作：

x+p2

p

＝

dx

dp

，
即：

dx

dp

＝

x

p

+p
令

x

p

＝u，则x＝up，
有：

dx

dp

＝u+p

du

dp

所以：u+p

du

dp

＝u+p，
得：

du

dp

＝1，
所以：u=p+c，c为任意常数，
则：

x

p

＝p+c，
又因为y′（1）=1，
即：x=1时，p=1，
所以：c=0，
从而：x=p²
则：p＝

x

，
y′＝

x

求得：y＝

2

3

x

3

2

+C，C为任意常数，
因为：y（1）=1，
所以，C=

1

3

，
于是，y＝

2

3

x

3

2

+

1

3

．

Answer 2

解：显然，齐次方程y'+y/x=0的通解是y=c/x
(c是积分常数)
于是，根据常数变易法，设原方程的解为y=c(x)/x
(c(x)是关于x的函数)
∵y'=[c'(x)x-c(x)]/x²
代入原方程，得[c'(x)x-c(x)]/x²+c(x)/x²=sinx/x
==>c'(x)=sinx
==>c(x)=c-cosx
(c是积分常数)
∴原方程的通解是y=(c-cosx)/x
(c是积分常数)
∵y(π)=1
∴(c+1)/π=1
==>c=π-1
故原方程满足初始条件y(π)=1的特解是y=(π-1-cosx)/x。