Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．（1）求角B的大小；（2）若b 2

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．（1）求角B的大小；（2）若b 2 =ac，判断△ABC的形状；（3）求证： b?sin(C- π 6 ) (2c-a)?cosB 为定值．

Answer 1

（1）∵sinA=sin（A-B）+sinC，且sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）， ∴sinA=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB， 又sinA≠0， ∴cosB= 1 2 ，又B为三角形的内角， 则B= π 3 ； （2）∵b 2 =ac，cosB= 1 2 ， ∴由余弦定理b 2 =a 2 +c 2 -2accosB得：ac=a 2 +c 2 -ac， 即（a-c） 2 =0， ∴a=c，又B= π 3 ， 则△ABC为等边三角形； （3）∵C=π-（A+B），B= π 3 ， ∴sin（C- π 6 ）=sin[π-（A+ π 3 ）- π 6 ]=sin（ π 2 -A）=cosA，sinC=sin（A+B）， 由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC 化简得： b?sin(C- π 6 ) (2c-a)?cosB = sinB?sin(C- π 6 ) (2sinC-sinA)?cosB = 3 2 cosA sin(A+ π 3 )-  1 2 sinA = 3 2 cosA 1 2 sinA+ 3 2 cosA- 1 2 sinA =1， 则 b?sin(C- π 6 ) (2c-a)?cosB 为定值．