Question

设函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x2

设函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x2）＞1?2ln24．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，f（x）=x²-2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2?2x+a

x

；
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，解得a＜

1

2

；
方程的两根为x₁=

1? 1?2a

2

，x₂=

1+ 1?2a

2

；
∴x₁+x₂=1，x₁?x₂=

a

2

＞0，
∴a＞0；
综上，a的取值范围为（0，

1

2

）．
（Ⅱ）∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x

2 2

，
∴f（x₂）=x

2 2

-2x₂+1+（2x₂-2x

2 2

）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（

1

2

，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1?2ln2

4

．
故f（x₂）=g（x₂）＞

1?2ln2

4

．