Question

（2014?蒙城县模拟）如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱A1D1上一点，设点P和直线AC1确定的平面为α，过点P与

（2014?蒙城县模拟）如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱A1D1上一点，设点P和直线AC1确定的平面为α，过点P与直线AC1垂直的平面为β，则下列命题正确的是______①存在平面α，使得A1B∥α；②对任意平面α都有α⊥β；③平面α将正方体分割为体积相等的两部分；④β截正方体所得截面多边形可能是四边形．

Answer 1

①当P为A₁D₁的中点时，
取BC的中点E，连C₁E，可证PA∥C₁E，
连PE，可得A₁B∥PE，
由线面平行的判定定理可得A₁B∥α，故①正确；
②因为平面α过AC₁，且AC₁⊥β，所以α⊥β，
故②正确；
③由于平面α经过直线AC₁，
由对称性易知③正确；
④由于AC₁⊥截面A₁BD和AC₁⊥截面B₁CD₁，
β截正方体所得截面介于截面A₁BD和截面B₁CD₁之间，可以是三角形或六边形，故④错．
故答案为：①②③