Question

（2011?如东县模拟）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为点O，交AC于点F，交AD于点G

（2011?如东县模拟）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为点O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2）当点E是AB边中点时，试比较∠AEF和∠CEB的大小，并说明理由．

Answer 1

解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∴∠1+∠3=90°，
∵BG⊥CE∠BOC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，
在△GAB和△EBC中，
∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2，
∴△GAB≌△EBC，（ASA）
∴BE=AG．

（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB．
理由如下：当点E位于线段AB中点时，AE=BE，
由（1）知，∵AG=BE，
∴AG=AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
又∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，（SAS）
∴∠AGF=∠AEF，
由（1）知，△GAB≌△EBC，
∴∠AGF=∠CEB，
∴∠AEF=∠CEB．