Question

（2014?通州区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+2x+8的图象与一次函数y=-x+b的图象交于

（2014?通州区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+2x+8的图象与一次函数y=-x+b的图象交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为-7．点P是二次函数图象上A、B两点之间的一个动点（不与点A、B重合），设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求b及sin∠ACP的值；（2）用含m的代数式表示线段PD的长；（3）连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为1：2？如果存在，直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵当y=0时，-x²+2x+8=0，
∴x₁=-2，x₂=4∵点A在x轴负半轴上，
∴A（-2，0），OA=2，
∵点A在一次函数y=-x+b的图象上，
∴2+b=0，
∴b=-2，
∴一次函数表达式为y=-x-2，
设直线AB交y轴于点E，则E（0，-2），OE=OA=2，
∵PC⊥x轴交AB于点C，
∴PC∥y轴，
∴∠AEO=∠ACP=45°，
∴sin∠ACP＝sin45°＝

2

2

；

（2）∵点P在二次函数y=-x²+2x+8图象上且横坐标为m，
∴P（m，-m²+2m+8），
∵PC⊥x轴且点C在一次函数y=-x-2的图象上，
∴C（m，-m-2），
∴PC=-m²+3m+10，
∵PD⊥AB于点D，
∴在Rt△CDP中，sin∠ACP＝

PD

PC

＝

2

2

，
∴PD=?

2

2

m2+

3 2

2

m+5

2

；

（3）如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=

2

2

，
∴cos∠ACP=

2

2

，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP=

2

2

，
在Rt△PDF中，DF=

2

2

PD=-

1

2

m²+

3

2

m+5，
又∵BG=5-m，
∴当

S△PCD

S△PBC

＝

DF

BG

＝

1

2

时，解得m=-1，
当

S△PCD

S△PBC

=

DF

BG

=2时，解得m=2，
∴m的值为-1和2．

Answer 2

哈
哈哈哈哈哈