Question

如图，经过原点的抛物线y=-x 2 +2mx与x轴的另一个交点为A．点P在一次函数y=2x-2m的图象上，PH⊥x轴于H，

如图，经过原点的抛物线y=-x 2 +2mx与x轴的另一个交点为A．点P在一次函数y=2x-2m的图象上，PH⊥x轴于H，直线AP交y轴于点C，点P的横坐标为1．（点C不与点O重合）（1）如图1，当m=-1时，求点P的坐标．（2）如图2，当 0＜m＜ 1 2 时，问m为何值时 CP AP =2 ？（3）是否存在m，使 CP AP =2 ？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，当m=-1时，y=2x+2， 令x=1，则y=4， ∴点P的坐标为（1，4）； （2）如图2，∵PH⊥x轴，∴PH ∥ OC， ∴△PAH ∽ △CAO，∴ PA CA = AH AO ， ∵ CP AP =2，∴ PA CA = AH AO =1，∴OA= 1 2 ． 令y=0，则-x 2 +2mx=0， ∴x 1 =0，x 2 =2m， ∴点A的坐标（2m，0）， ∴2m= 1 2 ，∴m= 1 4 ； （3）①当0＜m＜ 1 2 时，由（2）得m= 1 4 ， ∴y=2x- 1 2 ， 令x=1，则y= 3 2 ， ∴点P的坐标为（1， 3 2 ）； ②如图3，当 1 2 ≤m＜1时， ∵PH⊥x轴，∴PH ∥ OC， ∴△APH ∽ △ACO，∴ PA CA = AH AO ， ∵ CP AP =2，∴ AH AO = 1 3 ，∴OH= 2 3 OA， ∵OH=1，∴OA= 3 2 ， ∴2m= 3 2 ，m= 3 4 ， ∴y=2x- 3 2 ， 令x=1，则y= 1 2 ， ∴点P的坐标为（1， 1 2 ）； ③如图4，当m≥1时， ∵PH⊥x轴，∴PH ∥ OC， ∴△APH ∽ △ACO，∴ PA CA = AH AO ， ∵ CP AP =2，∴ AH AO = 1 3 ，∴OH= 2 3 OA， ∵OH=1，∴OA= 3 2 ， ∴2m= 3 2 ，m= 3 4 ， ∵m＞1，∴m= 3 4 舍去； ④如图5，当m≤0时， ∵PH⊥x轴，∴PH ∥ OC， ∴△APH ∽ △ACO，∴ PA CA = AH AO ， ∵ CP AP =2，∴CP＞AP， 又∵CP＜AP， ∴m的值不存在．