Question

已知 f(x)= 1 x -1 ．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并用定义证明函数f（

已知 f(x)= 1 x -1 ．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；（3）求函数f（x）的反函数f -1 （x）；（4）若对任意满足x 1 +x 2 =m的正实数x 1 、x 2 ，不等式f -1 （x 1 ）f -1 （x 2 ）＞f -1 （m）恒成立．求m的取值范围．

Answer 1

（1）由 1 x -1≥0 得定义域为（0，1]． （2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下． 设0＜x 1 ＜x 2 ≤1，则 f( x 2 )-f( x 1 )= 1 x 2 -1 - 1 x 1 -1 = x 1 - x 2 x 2 x 1 1 x 2 -1 + 1 x 1 -1 ＜0 ． 即f（x 2 ）＜f（x 1 ）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减． （3）令 y= 1 x -1 ，解得 x= 1 1+ y 2 （y≥0），即 f -1 (x)= 1 1+ x 2 （x≥0）． （4）由f -1 （x 1 ）f -1 （x 2 ）＞f -1 （m）， 化简得到：（1+x 1 2 ）（1+x 2 2 ）＜1+m 2 ． 注意到m=x 1 +x 2 ，以及x 1 ，x 2 ＞0代入整理得：x 1 x 2 ＜2． 把x 2 =m-x 1 代入整理得到：x 1 2 -mx 1 +2＞0． 该关于x 1 的不等式对于一切（0，m）内的x 1 恒成立． 所以 ( m 2 ) 2 -m? m 2 +2＞0 ．解得 0＜m＜2 2 ．