Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0＜α＜120°），得△A 1 BC 1 ，交AC于

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0＜α＜120°），得△A 1 BC 1 ，交AC于点E，AC分别交A 1 C 1 、BC于D、F两点． （1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1 与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC 1 DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长．

Answer 1

（1）EA 1 =FC．理由如下： ∵AB=BC，∴∠A=∠C， ∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A 1 BC 1 ， ∴∠ABE=∠C 1 BF，AB=BC=A 1 B=BC 1 ， 在△ABE和△C 1 BF中， ∠A= ∠C 1 AB= BC 1 ∠ABE= ∠C 1 BF ， ∴△ABE≌△C 1 BF（ASA）， ∴BE=BF， ∴A 1 B-BE=BC-BF， 即EA 1 =FC； （2）四边形BC 1 DA是菱形．理由如下： ∵旋转角α=30°，∠ABC=120°， ∴∠ABC 1 =∠ABC+α=120°+30°=150°， ∵∠ABC=120°，AB=BC， ∴∠A=∠C= 1 2 （180°-120°）=30°， ∴∠ABC 1 +∠C 1 =150°+30°=180°， ∠ABC 1 +∠A=150°+30°=180°， ∴AB ∥ C 1 D，AD ∥ BC 1 ， ∴四边形BC 1 DA是平行四边形， 又∵AB=BC 1 ， ∴四边形BC 1 DA是菱形； （3）过点E作EG⊥AB， ∵∠A=∠ABA 1 =30°， ∴AG=BG= 1 2 AB=1， 在Rt△AEG中，AE= AG cos∠A = 1 cos30° = 2 3 3 ， 由（2）知AD=AB=2， ∴DE=AD-AE=2- 2 3 3 ．