Question

已知双曲线与椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 的焦点相同，且它们的离心率之和等于

已知双曲线与椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 的焦点相同，且它们的离心率之和等于 14 5 ．（1）求双曲线的离心率的值；（2）求双曲线的标准方程．

Answer 1

（1）在椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 中， a 2 =25，b 2 =9，c 2 =16， 离心率e= 4 5 ， ∵双曲线与椭圆的离心率之和等于 14 5 ， ∴双曲线的焦点坐标也在x轴上，坐标为（±4，0）， 双曲线的离心率e′= 14 5 - 4 5 =2． （2）∵椭圆焦点在x轴上， ∴其焦点坐标为（±4，0）， ∵双曲线与椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 的焦点相同， ∴双曲线的焦点坐标也在x轴上，坐标为（±4，0）， 由题意设双曲线方程为 x 2 m 2 - y 2 n 2 =1(m＞0，n＞0) ， 由（1）知，c=4，e′=2， ∴ e ′ = 4 m =2 ， 解得m=2，∴n 2 =16-4=12， ∴双曲线方程为 x 2 4 - y 2 12 =1 ．