Question

如图，直线l1：y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=x与直线l1交于点C，平行于y轴的直线m从原点

如图，直线l1：y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=x与直线l1交于点C，平行于y轴的直线m从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止．直线m交线段BC、OC于点D、E，以DE为斜边向左侧作等腰Rt△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线m的运动时间为t（秒）．（1）填空：OA=______，∠OAB=______；（2）填空：动点E的坐标为（t，______），DE=______（用含t的代数式表示）；（3）求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围；（4）设直线m与OA交于点P，是否存在这样的点P，使得P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）l₁与x轴交于A点，∵当y=0时，x=8，
∴OA=8； 
l₁与y轴交于B点，∵当x=0时，y=8，
∴OB=8=OA，
∴∠OAB=45°；

（2）直线l₂：y=x与直线l₁交于点C，
则-x+8=x，
解得x=4，
当x=4时，y=4，
则C（4，4），
则∠COA=45°，
则E（OP，PE），即E（t，t），
DE=DP-EP=DP-t
∵∠OAB=45°且直线m平行于y轴，垂直于x轴，
∴∠DPA=90°，
DP=PA=8-t，
∴DE=8-2t；

（3）由题可知：直线m交线段BC、OC于点D、E，以DE为斜边向左侧作等腰Rt△DEF
所以F点的位置有三种可能
①点F在y轴左侧（0≤t＜2），
此时△DEF与△BCO重叠部分的面积为梯形
Rt△DEF的两直角边与y轴有两交点，分别过两个交点做x轴的平行线（即垂直于DE的两条线段） 
S=上面小三角形的面积+中间矩形的面积+下面小三角形的面积（且上面小三角形的面积=下面小三角形的面积），
S_{上面小三角形}=

1

2

t²，S_{上下三角形}=t²，S_中间矩形=（DE-2t）?t=-4t²+8t，
则S=-3t²+8t；

②点F在y轴上（t=2），
此时△DEF与△BCO重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形DFEC为正方形，
S=

1

2

DE?t=

1

2

×（8-4）×2=4；

③点F在y轴右侧（2＜t＜4），
此时△DEF与△BCO重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形 DFEC为正方形，
S=

1

2

DE（4-t）=t²-8t+16；

（4）存在．理由如下：
∵△DEF的高等于△DEF的斜边的一半，
∴H=（8-2t）÷2=4-t，
又D、E的中点坐标为（t，4），
∴F（2t-4，4），
∴FO²=（2t-4）²+4²=4t²-16t+32，FP²=（2t-4-t）²+4²=t²-8t+32，PO²=t²，
下面分三种情况讨论：1，当OP=OF时，4t²-16t+32=t²，
整理得：3t²-16t+32=0，
∵△=-128＜0，不存在；
2，当PF=PO时，t²-8t+32=t²，解之得：t=4；
3，当FP=FO时，即4²-16t+31=4t²-16t+32，
解之得，t₁=0（舍去），t₂=

8

3

，
故当t的值为4s或

8

3

s时△POF为等腰三角形．