Question

已知函数f(x)＝2x?12x+1，（1）求该函数的定义域和值域；（2）判断函数的奇偶性，并加以证明

已知函数f(x)＝2x?12x+1，（1）求该函数的定义域和值域；（2）判断函数的奇偶性，并加以证明．

Answer 1

（1）∵2^x+1＞1，
∴x∈R，即该函数的定义域为R，
f(x)＝

2x?1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1，即f（x）的值域为（-1，1）；
（2）f（x）为奇函数，
∵定义域为R，关于原点对称，且f(?x)＝

2?x?1

2?x+1

=

(2?x?1)×2x

(2?x+1)×2x

=?

2x?1

2x+1

＝?f(x)，
∴f（x）为R上的奇函数．