Question

已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8

已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比．（Ⅰ） 求a及bn；（Ⅱ） 设数列{an}的前n项和为Tn．求使Tn＞bn的最小正整数n的值．

Answer 1

（Ⅰ） 当n=1时，a₁=S₁=2-a．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．
所以1=2-a，得a=1，
∴an＝2n?1．
设数列{b_n}的公差为d，
由b₁=3，（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5），得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
故d=0（舍去）或d=8．
所以a=1，b_n=8n-5，n∈N^*．…（7分）
（Ⅱ）由an＝2n?1，知log

2

an=2（n-1），
∴T_n=n（n-1），
由b_n=8n-5，T_n＞b_n，得n²-9n+5＞0，
∴n∈N^*，∴n≥9．
所以，所求的n的最小值为9．…（14分）