Question

已知数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{an}的前n项和Sn=nbn．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（

已知数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{an}的前n项和Sn=nbn．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn＝1an(2bn+3)，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．…（2分）
∵数列{a_n}的前n项和S_n=nb_n，
∴Sn＝2n2?n．
∴a₁=S₁=1，
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝2n2?n?[2(n?1)2?(n?1)]＝4n?3，
又a₁=1也适合上式，
∴a_n=4n-3．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn＝

1

(4n?3)(4n+1)

＝

1

4

(

1

4n?3

?

1

4n+1

)，…（8分）
∴Tn＝c1+c2+c3+…+cn＝

1

4

[(1?

1

5

)+(

1

5

?

1

9

)+…+(

1

4n?3

?

1

4n+1

)]
=

1

4

(1?

1

4n+1

)＝

n

4n+1

．…（12分）