Question

已知幂函数f(x)＝xm2?2m?3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）

已知幂函数f(x)＝xm2?2m?3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足(1+a)?2m3＜(1?2a)?2m3的a的取值范围．

Answer 1

（1）∵幂函数f(x)＝xm2?2m?3在（0，+∞）上是减函数，
∴m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3，
∵m∈N^*，∴m=1，或m=2．
当m=1时，f（x）=x^-4，其图象关于y轴对称，
符合题意；
当m=2时，f（x）=x^-3是奇函数，不符合题意，
∴m=1．
（2）∵m=1，
∴满足(1+a)?

2m

3

＜(1?2a)?

2m

3

的a即满足(1+a)?

2

3

＜(1?2a)?

2

3

．
∵y＝x?

2

3

为偶函数，且定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上单调减，
∴

|1+a|＞|1?2a| 1+a≠0 1?2a≠0

，即

(1+a)2＞(1?2a)2 a≠?1 a≠ 1 2

，
从而0＜a＜2且a≠

1

2

，
故a的取值范围是（0，

1

2

）∪(

1

2

，2)．